我的世界最简单的二次递归(我的世界简单的小别墅二层)

在我擅长的领域中，我最擅长的技巧之一便是运用递归思想。今天，我要与你分享关于递归的奇妙世界，向你展示如何使用一个简单的二次递归方法，只需一个数组，无需复杂的代码。

前言：递归是算法中的璀璨明珠，广泛应用于各个领域。从简单的阶乘计算到复杂的文件夹大小统计，甚至Google的PageRank算法，都能看到它的身影。它不仅是面试官喜爱的考点，更是提升算法能力的关键。

我发现许多关于递归的文章并不全面。他们往往缺少对时间复杂度和空间复杂度的分析，这是算法的重要考量。递归算法的时间复杂度往往较难掌握，需要归纳法等高级技巧。掌握递归算法的时间复杂度，其他算法的时间复杂度也就不在话下。

本文将带你走进递归的世界，从以下几个方面详细讲解：

一、什么是递归？

二、递归算法的通用解决思路

三、实战演练（从初级到高级）

让我们理解递归的基本概念。简单来说，如果一个函数在内部调用了自身，这种现象就称为递归。以阶乘函数为例，该函数中调用了自身来计算n-1的阶乘，因此它是一个递归函数。

进一步剖析递归，我们可以发现其包含两个部分：“递”和“归”。递的意思是将问题分解为更小的子问题来解决。这些子问题再被分解为更小的子问题，直到达到可以直接解决的最小子问题。归则是说，一旦最小的子问题得到解决，它的上一层问题也就随之解决，层层递进，最初的问题也就得到了解决。

接下来，我们来看看递归算法的通用解决思路。我们需要判断一个问题是否可以通过递归来解决。如果一个问题可以分解为具有相同解决思路的子问题，并且这些子问题都有一个固定的终止条件，那么我们就可以使用递归来解决。一旦确定可以使用递归，我们就可以按照以下步骤来解决问题：

一、定义函数并明确其功能。由于递归的特点是问题和子问题都会调用函数自身，所以明确函数的功能后，只需寻找问题与子问题之间的递归关系即可。

二、寻找问题与子问题之间的关系（即递推公式）。这样，只要子问题调用之前定义好的函数，问题就可以得到解决。

通过掌握递归的基本思想和解决思路，你将能够更深入地理解算法的本质，提高算法能力。希望这篇文章能给你带来收获和启发。针对这个问题，我们可以按照之前提到的递归解题套路来解答。

定义函数与功能

我们需要定义一个函数来计算跳上第n级台阶的不同跳法数量。我们可以暂且称之为`jumpWays`函数。这个函数会接受一个整数n作为输入，并返回跳上第n级台阶的不同跳法数量。

寻找问题与子问题的关系

对于这个问题，我们可以设定f(n)表示跳上第n级台阶的不同跳法数量。显然，跳上第n级台阶有两种方式：从第n-1级台阶跳一级上来，或者从第n-2级台阶跳两级上来。我们可以得出递推关系：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。临界条件是f(1) = 1（只有1种跳法跳到第1级）和f(2) = 2（可以连续跳两级或直接跳一级）。我们可以通过递归调用函数计算这两个临界值。接下来，我们就可以通过调用函数来计算更大的值。这个过程也符合子问题可以调用步骤 1 中定义的函数的要求，符合递归的条件。因此我们可以继续按照递归思路解决这个问题。但要注意我们后续会对时间复杂度进行考虑并作出调整以确保效率。接下来我们按照步骤将递推公式用代码表示出来并补充到我们的函数中。假设我们的函数定义如下：

```java

public int jumpWays(int n){

//检查临界条件：跳到第一级有一种方式，跳到第二级有两种方式

if (n <= 2){

return n; //返回临界条件的结果，因为初始定义的临界值正好是答案值。注意在更复杂的场景中，需要特别处理临界条件的结果，这里比较简单直接返回即可。后续会考虑其他更复杂情况下的递归修改思路（使用memo等方式优化）。 }

//使用递推公式计算其他级别的跳法数量，计算完后调用递归计算下一个值

else {

return jumpWays(n-1) + jumpWays(n-2); //递归调用函数计算不同跳法数量之和，满足递归公式的要求。因为题目要求的临界值较小，可以直接递归调用，对于大规模数据需要考虑使用memo等优化手段避免重复计算以提高效率。同时需要注意递归深度过深可能导致栈溢出问题。因此在实际开发中我们会尽可能通过转换思路优化解法（如转换问题表述，优化计算逻辑等）来避免递归深度过深的问题。但当前此题并未涉及大规模数据或深度过深的问题，所以暂时不需要考虑这些优化手段。同时需要注意递归调用的地方如果发生计算复杂度过大等情况应及时优化，后续也会探讨更优解的情况。） }

}

```接下来我们分析时间复杂度问题：由于我们的算法是递归调用，当输入数据规模较大时会造成重复计算并消耗大量资源（时间和空间），时间复杂度为指数级别O(2^n)。在实际开发中我们通常需要考虑如何优化算法以提高效率减少不必要的计算和资源消耗（如通过memo等手段减少重复计算等）。本题暂时不涉及大规模数据的问题所以可以暂时忽略这个问题继续用递归解法进行解答但需要注意在后续开发中应尽可能避免使用指数级别的时间复杂度算法以保证程序的效率和稳定性。通过上面的步骤我们可以发现通过定义函数明确功能寻找问题与子问题的关系将递推公式用代码表示出来补充到函数中以及分析时间复杂度这些步骤确实可以帮助我们更好地理解和解答递归问题使得解题过程更加清晰和有条理在实际开发中我们也可以遵循这些步骤来分析和解决问题特别是面对复杂问题时通过拆解问题逐步求解和明确每个步骤的功能可以大大提高解决问题的效率和准确性。同时我们也需要注意在解题过程中不断思考如何优化算法以提高效率和稳定性特别是在面对大规模数据和复杂问题时这一点尤为重要。跃入数字化时代的台阶跳法解析

我们这次将探索如何以四步曲的方式来解析一个有趣的问题：如何跳上n级台阶。让我们跟随这个思维路径，一步步深入探究。

第一步：定义问题

我们定义一个函数f(n)，这个函数代表跳上n级台阶的不同跳法。这个问题看似简单，但其实背后隐藏着复杂的逻辑结构。

第二步：探寻问题与子问题之间的关系

初看这个问题，可能看不出什么头绪。但当我们仔细分析，会发现一个青蛙每次只能跳一步或两步台阶。那么，如果要跳到第n级台阶，它只能从第n-1级或第n-2级跳上来。问题就转化为求解跳上n-1和n-2级台阶的跳法。换句话说，f(n)的跳法数量等于f(n-1)和f(n-2)的和。这个发现为我们揭示了问题的核心逻辑。

第三步：将递推关系转化为代码

我们可以将第二步的递推关系转化为代码，填充到第一步定义的函数中。代码如下：

"/ 跳 n 级台阶的跳法/public int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; return f(n-1) + f(n-2); }"

这种递归的方法有一个问题，就是时间复杂度非常高，达到了指数级别。这是因为有很多重复的计算，比如f(3)被计算了多次。

第四步：优化算法

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的思想，把计算过的结果保存起来，避免重复计算。这样，时间复杂度就可以降低到O(n)。这种方法的空间复杂度也是O(n)。

第五步：空间复杂度的进一步优化

我们能否进一步优化空间复杂度呢？答案是肯定的。我们可以采用自下而上的方式解决这个问题，从最基本的f(1)和f(2)开始计算，逐步推到f(n)。这样，我们只需要保存前两个值就可以计算出f(n)，空间复杂度降到了O(1)。这种方法的本质是通过迭代而不是递归来求解问题。

代码改造之旅

让我们先来看一段代码。这段代码定义了一个函数`f(int n)`，用于计算某个特定的数学序列。我们将对其进行改造，让其在保持原有功能的展现出更优化的时间复杂度和空间复杂度。改造后的代码将遵循自上而下的思维方式进行构造，但解决问题的关键则在于自下而上的思考方式。通过这种方式，我们可以显著提高算法的性能。

初级挑战：反转二叉树

接下来我们面对的是一道经典的编程题目：反转二叉树。我们需要将左边的二叉树结构反转成右边的结构。解决这个问题，我们可以采用递归的方法，通过四步来解决这个问题。

第一步，定义一个函数`invertTree(TreeNode root)`，这个函数的作用是翻转以`root`为根节点的二叉树。在这个过程中，我们需要找到问题与其子问题的关系，从而得出递推公式。自上而下的思考方式告诉我们，只需翻转每个根节点的左右子节点即可。对于每一个根节点，我们翻转其左右节点，这样就能满足需求。问题与子问题的关系是：翻转(根节点) = 翻转(根节点的左节点) + 翻转(根节点的右节点)。当遇到叶子节点时，递归终止。

第二步，将递推公式转化为代码。在这个过程中，我们需要注意时间复杂度和空间复杂度的分析。由于我们对每一个节点都进行了翻转操作，所以时间复杂度是O(n)。至于空间复杂度，因为每次递归调用都会压栈，所以空间复杂度在最坏的情况下是O(n)，即当二叉树为完全二叉树时，空间复杂度为O(logn)。但如果二叉树是只有左节点没有右节点的形式，那么空间复杂度会达到O(n)。空间复杂度取决于具体的二叉树结构。

中级挑战：汉诺塔问题

一、汉诺塔问题

在分析汉诺塔问题时，首先需要通过递归的方式理解其移动过程。假设要将n个圆盘从A柱移到C柱，我们可以将其分为几个步骤：

1. 将上面的n-1个圆盘从A经由C移到B；

2. 将最底下的圆盘从A移到C；

3. 再将B上的n-1个圆盘从B经由A移到C。

用递归公式表示就是：move(n from A to C) = move(n-1 from A to B) + move(A to C) + move(n-1 from B to C)。理解了递归过程后，我们可以编写相应的函数来实现这一过程。函数的终止条件是当A上的圆盘数量为0时停止移动。具体的函数实现如下：

```java

public void hanoid(int n, char a, char b, char c) {

if (n <= 0) return; //终止条件

hanoid(n-1, a, c, b); //将上面的n-1个圆盘从A移到B

move(a, c); //将最底下的圆盘从A移到C

hanoid(n-1, b, a, c); //将B上的n-1个圆盘从B移到C

}

```

接下来是move函数的定义，表示将一个圆盘从一个柱子移动到另一个柱子：

```java

public void move(char a, char b) {

printf("%c->%c", a, b); //输出移动过程

}

```

从上述函数的功能来看，整个函数的作用是将A上的n个圆盘经由B移到C。通过递归调用，我们可以将问题分解为更小的子问题，从而更容易理解。在此基础上，我们可以进行时间复杂度的分析。根据递归公式，我们可以推断出时间复杂度为O(2^n)，这是一个指数级别的时间复杂度，表明汉诺塔问题的非递归解法较为复杂。

二、细胞分裂问题

接下来我们面对的是细胞分裂问题。这个问题看似与汉诺塔问题不同，但同样可以通过递归的方式来解决。我们定义一个函数allCells，表示n小时后的细胞数量。接下来，我们需要寻找问题与子问题之间的关系，即递推公式。考虑到每个细胞在出生后的第一个小时分裂一个子细胞，然后第三个小时后死亡，我们可以根据这个规律来推导递推公式。假设fa(n)表示第n小时处于初始态的细胞数，fb(n)表示第n小时处于幼年态的细胞数，fc(n)表示第n小时处于成熟态的细胞数。那么第n小时的细胞总数f(n) = fa(n) + fb(n) + fc(n)。通过进一步分析，我们可以得到fa(n)、fb(n)和fc(n)的递推公式。最终，我们可以通过这些递推公式来计算n小时后的细胞数量。具体的递推公式和计算过程较为复杂，需要仔细分析和计算。在数学的奇妙世界里，我们常常会面对一些富有挑战性的递归问题。今天，我们将深入探讨一个特定的递归公式，并通过这个公式来揭示递归的魅力和复杂性。

我们有一个初始条件：当 n 等于 1 或 2 时，fc(n) 等于 0。在此基础上，我们得到一个重要的递归公式：f(n) = fa(n) + fb(n) + fc(n)。这个公式是解开我们问题的一把钥匙。

接下来，我们进一步补充并解释这个递归公式背后的函数功能。在代码中，我们定义了四个函数：allCells、aCell、bCell和cCell。这些函数分别代表了在第 n 小时不同状态的细胞数量。例如，"aCell" 函数描述的是 n 小时时的 a 状态细胞数。特别值得注意的是，"aCell" 和 "bCell" 函数中都使用了递归调用，这是递归算法的典型应用。

通过理解这些函数的功能和递归调用方式，我们可以进一步分析时间复杂度。从第二步的递推公式我们知道 f(n) = 2aCell(n-1) + 2aCell(n-2) + aCell(n-3)。对比之前青蛙跳台阶问题的时间复杂度，我们发现这个递推公式更为复杂，因此其时间复杂度也是指数级别的。

解决递归问题大多有一定的规律可循。按照之前的四个步骤解开递归题，我们首先需要理解问题并找出递归规律。对于一些复杂的递归题，我们需要勤于动手，通过画图来观察规律，这样能帮助我们更快地发现递归公式。一旦理解了递归公式，将其转化为代码就会变得相对简单。

许多大厂的递归考题都会在此基础上增加一些变形，使得递归规律不那么明显。但只要我们坚持使用自顶向下的分析思维，多练习，相信递归就不会是什么难事。

递归是编程中的一个重要概念，它让代码更加简洁高效。但递归问题也有一定的复杂性，需要我们深入理解和不断练习才能掌握。希望这篇文章能给你带来一些启发和帮助，更好地理解和解决递归问题。

（本文为作者个人投稿，版权归作者所有。）

【End】递归的奇妙世界等你去探索！通过不断的学习和实践，你将发现递归的魅力并轻松应对各种挑战。